Relation forme de l'objet / forme de sa Transformée de Fourier (TF)



    Du fait de la définition de la Transformée de Fourier d'un objet, il existe une relation étroite entre la forme de l'objet et celle de sa TF. Cette relation est utilisée dans la pratique par exemple pour imager de très petits objets tels que les atomes composant un cristal (Diffraction des rayons X).

    Le premier exemple illustrant cette relation utilise comme objets deux disques de rayons différents. On peut observer que leurs TF présentent alors la même symétrie cylindrique que les objets initiaux, sous forme d'anneaux concentriques successivement clairs et sombres. Cependant, l'extension spatiale dans l'espace de Fourier est inversée : le disque de grand rayon conduit à une TF présentant des anneaux de relativement faibles diamètres, contrairement à ce qui est obtenu avec le disque de plus petit diamètre.


   

   

   
En haut : objets initiaux : disques de diamètres différents. Au milieu : Transformées de Fourier respectives des deux disques. En bas : profils des modules des TF correspondantes


    Le deuxième exemple est un objet constitué d'un segment blanc allongé, sur fond noir. Sa Transformée de Fourier consiste alors en un ensemble de pics blancs, repartis de manière régulière autour du pic central de hauteur maximale. Comme on peut s'y attendre d'après l'examen du premier exemple, les oscillations dans la direction horizontale sont plus rapides que celles dans la direction verticale puisque l'étendue spatiale du segment objet est plus importante horizontalement que verticalement.

   

En haut : objet initial (segment blanc) et sa Transformée de Fourier. Au milieu : profil vertical du module de la TF. En bas : profil horizontal du module de la TF

    Si on augmente alors la longueur du segment objet de telle manière à ce qu'il recouvre entièrement la largeur de l'image, sa TF va alors se condenser en un pic central dans la direction horizontale :

   
Segment totalement étendu dans la direction horizontale et sa Transformée de Fourier

En effet, l'équidistance observée entre les nœuds (zéros) du module de la TF étant inversement proportionnelle à la taille de l'objet dans la direction considérée, si la dimension de l'objet est étendue infiniment dans une direction (l'objet occupe toute l'image) alors les nœuds de la TF tendent vers zéro i.e. le centre de celle-ci (c.f. fonction Delta de Dirac).




    L'exemple suivant permet de souligner la relation intime qui existe entre la forme d'un objet et sa Transformée de Fourier : dans le cas d'un objet en forme de croix, sa TF présente la même asymétrie (i.e. en forme de croix) mais il faut noter qu'il existe des coefficients de Fourier non nuls dans les directions diagonales. L'intensité du module de la TF est maximale au centre (basse résolution), et décroit par oscillations au fur et à mesure que l'on s'approche des bords (haute résolution).



   
En haut : une croix peut être formée par deux segments. En bas : modules de la Transformée de Fourier de cette croix avec deux échelles de niveaux de gris différentes de manière à mettre en valeur les coefficients de Fourier à modules élevés et faibles


    A partir de cette croix unique, on peut former un nouvel objet en translatant l'image selon les directions verticales et horizontales. On obtient ce que l'on appelle un réseau, répétition périodique d'un motif (la croix). La TF d'un tel objet présente alors également une périodicité traduite par les points blanc répartis de manière régulière (l'objet n'étant pas infiniment périodique sa TF ne consiste pas de point infiniment fins mais quelque peu étalés).
On peut aussi remarquer que la variation d'intensité globale à travers la TF de ce nouvel objet suit celle de la TF de la croix seule, étant maximale au centre puis décroissant avec des oscillations dans les directions verticale et horizontales (c.f. Théorème de convolution).



   
En haut : réseau formé par la répétition de la croix précédente dans les directions horizontales et verticales. En Bas : module de la TF de ce réseau avec deux échelles de niveaux de gris différente de manière à mettre en valeur les coefficients de Fourier à modules élevés et faibles



    La forme d'un objet et celle de sa Transformée de Fourier sont intimement liées, et l'examen d'une TF permet de conclure quant à la périodicité d'un objet, de ses extensions spatiales dans les diverses directions.
    C'est le principe de base de la cristallographie. Ne pouvant être facilement observés directement, les atomes qui composent la matière cristalline ont en revanche la propriété de diffuser les rayons X, et il s'avère que la figure formée lors de ce phénomène de diffraction est reliée à l'agencement des atomes dans le cristal via une Transformée de Fourier. L'analyse de cette figure de diffraction (espace de Fourier) permet donc de remonter à la position des atomes dans le cristal (espace direct), tout comme l'application de l'opération de Transformée de Fourier inverse sur l'une des TF des exemples précédents permet de retrouver l'objet initial.