Interprétation de la formation d'une image de basse résolution par le théorème de convolution


    Dans un des premiers exemples nous avions vu que l'image formée en ne conservant que les coefficients de Fourier les plus proches de l'origine (basse résolution) avait perdu les détails de l'image initiale, qu'elle était devenue comme floue :


Image initiale

TF de l'image initiale


TF de l'image initiale où seule la basse résolution est conservée

Image de basse résolution obtenue en calculant la TF inverse de la TF modifiée

    Ceci s'expliquait dans l'espace de Fourier en considérant que les coefficients de Fourier de haute résolution avaient été forcés à zéro et que puisque ceux-ci codent justement les détails fins de l'image (caractéristiques variant rapidement à travers l'image) il en résulte que cette dernière devient floue.

    Cet effet lié à la résolution peut également être appréhendé dans l'espace direct, grâce au théorème de convolution qui stipule que la Transformée de Fourier d'un produit de convolution de deux fonctions (deux images par exemple) est égale au produit simple des Transformées de Fourier de chacune de ces deux fonctions.
Dans l'espace de Fourier, la TF de basse résolution est obtenue comme le produit simple de la TF de l'image initiale par un masque valant 1 à l'intérieur d'un disque et 0 en dehors :



Dans l'espace de Fourier on multiplie la TF de l'image avec le masque qui sélectionne la basse résolution

    Il en résulte, d'après le théorème de convolution, que dans l'espace direct l'image correspondante à la TF de basse résolution sera obtenue en convoluant l'image initiale et la TF inverse du masque utilisé :


Dans l'espace direct l'image de basse résolution est obtenue en convoluant l'image initiale à la TF inverse du masque


    La TF inverse du masque est une fonction présentant des pics maximaux aux coins de l'image formée, entourés d'anneaux concentriques d'amplitudes décroissantes :


Masque utilisé pour sélectionner la basse résolution et sa Transformée de Fourier Inverse (le profil le long de la ligne tracée est indiqué)

    Pour former l'image finale dans l'espace direct, il faut donc convoluer l'image initiale avec cette TF inverse du masque : la contribution principale provient du pic en haut à gauche (qui est l'origine (0,0) de cette TF inverse), puis on ajoute à cette image originale (non décalée) une copie de celle-ci décalée et pondérée selon les oscillations de la TF inverse du masque :


Image obtenue en additionnant l'image initiale (contribution du pic en (0,0) de la TF inverse du masque) et une copie de celle-ci décalée et de plus faible intensité


Agrandissement de l'image originale
 
 

Image originale à laquelle est superposée une seconde image légèrement décalée et d'amplitude plus faible

    L'image finale est obtenue en répétant cette addition de copies de l'image originale décalées et pondérées selon la forme de la TF inverse du masque, d'où son apparence floue.


Remarque : les 3 autres pics sur la TF inverse du masque (en bas à gauche et à droite et en haut à droite) sont liés au fait que la procédure de calcul de la TF considère en fait l'image initiale comme répétée périodiquement dans les directions verticale et horizontale ce qui introduit de légers artefacts sur les bords de l'image finale (ceux-ci ne sont pas visibles pour l'illustration présente mais peuvent être plus marqués dans d'autres cas).