D'une fente à un réseau

    Considérons une fente d'ouverture faible : sa Transformée de Fourier (représentée ci-dessous sous la forme de son module) est alors un très large sinus cardinal :

   
                                                                   
Objet 1 fente, sa Transformée de Fourier et le profil du module de la TF le long de l'axe horizontal passant par l'origine (centre de l'image)

    De la même manière, la même fente mais décalée sur l'image va conduire à une TF qui aura son module exactement identique à celui correspondant à la première fente, mais différera uniquement par un terme de phase par rapport à la première TF :

   
                                                                 
Objet 1 fente identique au premier cas, mais décalée sur l'image, sa Transformée de Fourier et le profil du module de la TF le long de l'axe horizontal passant par l'origine (centre de l'image)

    Cette remarque est importante car les TF sont généralement représentées sous forme de leur module uniquement, choix lié au fait que certaines techniques physiques mettant en jeu des TF conduisent uniquement à l'observation des modules (ou de leur carré), l'information de phase étant alors perdue (e.g. diffraction d'un faisceau laser par une petite ouverture).

    Si l'objet consiste alors en ces deux fentes identiques mais décalées, la représentation de la Transformée de Fourier obtenue n'est pas la somme des représentations des TF des deux fentes prises séparément : on constate l'apparition d'oscillations superposées à une courbe globalement décroissante depuis l'origine (centre de l'image). Cette non-additivité apparente des TF est uniquement due à ce que l'on ne représente ici que leurs modules. Les Transformées de Fourier sont des nombres complexes, formés d'un module et d'une phase : elles sont additives dans le plan complexe (en module et phase) :
TF{f(x)+g(x)}=TF{f(x)}+TF{g(x)}.

   
                                                               
Objet 2 fentes, sa Transformée de Fourier et le profil du module de la TF le long de l'axe horizontal passant par l'origine (centre de l'image)

    La conclusion importante ici est que l'on ne pourra pas expérimentalement prévoir la figure de diffraction d'un objet formé de deux fentes à partir des figures de diffraction des deux fentes prises séparément, puisque ces figures de diffraction ne donnent accès qu'aux modules des TF de l'objet diffractant.

    Si on ajoute encore une fente, on observe l'apparition de maximum secondaires (petit pic entre deux grands pics),

   
                                                                   
Objet 3 fentes, sa Transformée de Fourier et le profil du module de la TF le long de l'axe horizontal passant par l'origine (centre de l'image)

et plus on ajoute de fentes, plus le nombre de ces pics secondaire augmente (on notera même que le nombre de ces pics est simplement le nombre de fentes - 2) et on observe également que les pics maximaux deviennent de plus en plus étroits.

   
                                                               
Objet 4 fentes, sa Transformée de Fourier et le profil du module de la TF le long de l'axe horizontal passant par l'origine (centre de l'image)


    Le cas limite consiste en l'image recouverte de ces fentes verticales équidistantes (ce que l'on appelle un réseau) : la TF de cette image est alors un ensemble de points également équidistants placés sur une ligne horizontale (ce qui est donc un réseau de points) :

   
                                                                   
Objet réseau formé par la répétition de fentes équidistantes, sa Transformée de Fourier et le profil du module de la TF le long de l'axe horizontal passant par l'origine (centre de l'image)

    Il est intéressant de noter que si on divise par deux l'équidistance entre les fentes du réseau initial, l'équidistance des pics dans la TF est quant à elle multipliée par deux : on retrouve la loi de variation inverse des tailles dans l'espace direct (objet) / espace de Fourier (appelé aussi espace réciproque).

   
                                                                 
Objet réseau formé par la répétition de fentes d'équidistance moitié par rapport au cas précédent, sa Transformée de Fourier et le profil du module de la TF le long de l'axe horizontal passant par l'origine (centre de l'image)


Remarque :
    On peut remarquer sur les profils le long des TF des deux derniers réseaux que les pics obtenus sont quelque peu étalés. Ceci provient du fait que la procédure de calcul de la TF de l'image suppose que celle-ci est répétée périodiquement dans les deux directions du plan. Dans le cas des deux réseaux précédents, l'objet formé n'a pas la périodicité du pas du réseau, car le pas du réseau n'est pas un sous multiple de la taille de l'image :



Mosaïque formée par 4 images accolées du premier réseau : l'objet formé par la répétition périodique du réseau n'a pas pour périodicité le pas du réseau lui-même (les images ne se correspondent pas à leurs bords comme on peut le voir le long de la ligne verticale au centre de l'image)

    Si on construit un réseau dont le pas (e.g. 8 pixels) est alors un sous multiple de la largeur de l'image (256 pixels) l'objet formé par la répétition périodique de cette image a pour périodicité le pas du réseau initial lui-même et alors les pics de la TF du réseau sont 'infiniment' étroits :



Mosaïque formée par 4 images accolées du nouveau réseau : l'objet formé par la répétition périodique du réseau a  pour périodicité le pas du réseau lui-même 

       
                                                                      
Objet réseau dont l'équidistance est un sous multiple de la largeur de l'image, sa Transformée de Fourier et le profil du module de la TF le long de l'axe horizontal passant par l'origine (centre de l'image) qui montre les pics 'infiniment' étroits.