Représentation numérique d'une image et sa Transformée de Fourier




    Pour pouvoir être analysé, un signal doit être numérisé, c'est-à-dire représenté par une succession de nombres (réels, entiers…) en fonction du temps, de la position etc.
Dans le cas de l'illustration présente, le signal étudié est une photographie numérique d'une statue de l'Avenue of the Chinese Musicians, Allerton Park, University of Illinois at Urbana-Champaign, IL, USA (2004) :


Photographie numérique 256*256 pixels

Niveau de gris 8 bits
(permettant de coder 28=256
niveaux de gris différents)



Cette image est un tableau de 256*256 cases (pixels), contenant chacune un entier compris entre 0 (noir) et 255 (blanc) codant le niveau de gris correspondant :


 Valeur de l'entier codant le niveau de gris :             0                                   128                                  255


    Pour simplifier, considérons une seconde image en niveaux de gris 8 bits composée uniquement de 4*4 pixels repérés par leurs numéros de ligne m et de colonne n  :
   
m\n 0 1 2 3
0
1
2
3
m\n 0 1 2 3
0 127 46 255 241
1 176 179 70 241
2 183 5 190 243
3 196 157 136 94
     Image en niveau de gris                                                                         Valeur des pixels

Sous format numérique, cette image est donc un tableau d'entiers I(n,m), avec n le numéro de la colonne et m le numéro de la ligne du tableau (e.g.  I(2,0)=255).

On définit la Transformée de Fourier discrète (notée TF) de cette image de N*N pixels (ici N=4) par :


où h et k sont deux entiers variant de -N/2 à N/2-1.

La transformation inverse (Transformée de Fourier inverse) permettant de retrouver l'image initiale est :



    Dans de nombreux cas le signal initial I(n,m) est réel (ce à quoi nous nous limiterons ici), ce qui induit une symétrie dans sa transformée de Fourier F(h,k). En effet :




    La transformée de Fourier F(h,k) de l'image I(n,m) est habituellement représentée sous forme un tableau F(h,k) de N*N pixels contenant des nombres complexes, appelés coefficients de Fourier de l'image I(n,m) :

k\h -2 -1 0 1
-2 313
+0i
-301
+434i
41
+0i
-301
-434i
-1 -30
+255i
4
-89i
48
-83i
-246
-3i
0 127
+0i
31
+432i
2539
+0i
31
-432i
1 -30
-255i
-246
+3i
48
+83i
4
+89i


    Chacun de ces nombres complexes de la forme x+iy peut être écrit sous forme polaire |F(h,k)|.ei.φ(h,k), où |F(h,k)| est le module et φ(h,k) la phase du coefficient de Fourier F(h,k), ce qui peut conduire à une représentation graphique en niveaux de gris de la transformée de Fourier à l'aide d'une carte des modules et une carte des phases :

k\h -2 -1 0 1
-2
-1
0
1
k\h -2 -1 0 1
-2
-1
0
1
Modules des coefficients de Fourier. Le noir (blanc) code un module faible (élevé). La symétrie des modules est visible autour de (h,k)=(0,0) Phases des coefficients de Fourier. Le noir (blanc) code une phase égale à - π( π)  . L'antisymétrie des phases est visible autour de (h,k)=(0,0)


La représentation de la Transformée de Fourier est donc centrée autour de F(h=0,k=0) (ceci étant dû à la symétrie F(-h,-k)=F*(h,k)). Ce coefficient central F(h=0,k=0) est particulier en ce sens qu'il est toujours réel et qu'il est égal à la somme des valeurs des pixels de l'image I(n,m) :  
 
Les coefficients de Fourier contenus dans les premières ligne et colonne k=-2 et h=-2 sont également particuliers, puisqu'ils correspondent aux plus grands indices possibles en valeur absolue h et k. Pour une question de représentation seuls les coefficients avec h et k négatifs sont placés dans le tableau (ici colonne h=-2  et ligne k=-2) : cela permet de conserver la dimension des tableaux utilisés, N*N pixels pour l'image et N*N coefficients de Fourier pour sa TF.

Remarque : dans la définition utilisée ici N doit être un nombre pair (h varie de N/2 à N/2-1 et doit être un entier), et pour le calcul de la TF avec le logiciel utilisé dans ces pages (DigitalMicrograph @ Gatan; algorithme de Transformée de Fourier Rapide) N doit être de la forme 2j avec j entier.