Retour sur la résolution



    La résolution d'une image formée à partir de coefficients de Fourier est donc liée aux plus grands indices (h,k) de ces coefficients non nuls. L'image suivante (256*256 pixels) représente deux points (15 pixels de diamètre) dont les centres sont séparés de 40 pixels :

Image initiale (256*256 pixels) Transformée de Fourier de l'image initiale et limite de la zone centrale utilisée pour reconstruire les images

On cherche alors quelles sont les images formées à partir de la Transformée de Fourier de l'image initiale, en ne gardant qu'une zone circulaire centrale de rayon variable.

    La contribution de plus basse fréquence pour dessiner ces deux disques est une sinusoïde de période 40 pixels, qui a donc une fréquence spatiale 256/40=6.4 fois plus grande que la sinusoïde de plus basse fréquence possible pour l'image (associée au premier coefficient de Fourier proche de l'origine sur l'axe horizontal) :


Sinusoïde de 40 pixels de période superposée à l'image initiale (l'onde de plus faible fréquence est en bas)

    Le coefficient de Fourier associé à cette sinusoïde (T=40pixels) est donc le 6ième (ou 7ième) à partir de l'origine F(0,0) dans la direction horizontale. Lorsque l'image reconstruite contient les coefficients de Fourier jusqu'à cette limite (6 pixels coefficients de Fourier de rayon) et au-delà ((a) et (b)) il est alors possible de distinguer les deux disques, ce qui n'est plus le cas pour (c) où seuls les coefficients de Fourier à l'intérieur d'une zone de 4 pixels de rayon sont utilisés :

   
   
                                           (a)                                                                                   (b)                                                                                   (c)
Images reconstruites à partir de la Transformée de Fourier tronquée de l'image initiale. Seule une zone centrale de (a) 8 (b) 6 et (c) 4 pixels (donc coefficients de Fourier) de rayon est utilisée pour reconstruire chacune de ces images