Retour au Musicien Chinois : signification physique des coefficients de Fourier



La transformée de Fourier ainsi définie peut être appliquée à notre photographie initiale :





                                  
Carte des modules (échelle log) des coefficients de Fourier de l'image                     Carte des phases des coefficients de Fourier de l'image


On peut alors se poser la question de savoir que devient la transformée de Fourier inverse des ces cartes de modules et phases si on élimine une partie de celles-ci ?
Pour commencer, choisissons de forcer à zéro les coefficients de Fourier F(h,k) au-delà d'une certaine limite et appliquons la Transformée de Fourier inverse :

                                
Seuls les coefficients de Fourier proches de F(0,0) sont conservés             Transformée de Fourier inverse des coefficients de Fourier modifiés


Nous pouvons ensuite effectuer la démarche opposée en éliminant les coefficients proches de l'origine :

                               
Les  coefficients de Fourier proches de F(0,0) sont éliminés               Transformée de Fourier inverse des coefficients de Fourier modifiés


La comparaison des nouvelles images obtenues avec la photographie initiale permet les observations suivantes :

        • L'image reconstruite avec uniquement les coefficients de Fourier proches de l'origine est comme floue, sans les détails de l'image initiale mais conservant les niveaux de gris entre les différentes zones (statue blanche et forêt en arrière plan noire).

       • Au contraire, l'image reconstruite à partir des coefficients de Fourier les plus éloignés de l'origine montre beaucoup de détails, mais cependant l'information sur les niveaux de gris entres zones est perdue : l'image est d'un gris uniforme parsemée de lignes montrant les contours des détails.


De cela, nous pouvons en conclure que :

       • Les coefficients de Fourier proches de l'origine (h=0;k=0) contiennent l'information sur les caractéristiques variant doucement à travers l'image, dites de basse fréquence et également sur les nuances de gris d'une zone à l'autre.

      • Les coefficients de Fourier les plus éloignés de l'origine contiennent l'information sur les détails de l'image tels que les contours de la statue, ses yeux, le parterre de feuilles.

    Plus on incorporera de coefficients de Fourier éloignés de l'origine, plus la résolution de l'image reconstruite sera meilleure (l'image sera moins floue), la résolution étant liée à la capacité à pouvoir distinguer des détails de l'image. On appelle alors naturellement les coefficients de Fourier proches de l'origine ceux de basse résolution, et les plus éloignés ceux de haute résolution.