Modules et phases des coefficients de Fourier


    La transformée de Fourier d'une image I(n,m) est un tableau de nombres complexes, pouvant être représentés sous forme polaire |F(h,k)|.ei.φ(h,k). Quelle sera l'image obtenue par Transformée de Fourier Inverse si on combine les modules |F1(h,k)| de la TF d'une image I1(n,m) avec les phases φ2(h,k) de la TF d'une seconde image I2(n,m) et vice-versa ?

                     
Image 1                                                                                                           Image 2


Image obtenue en combinant les modules de la TF de l'image 1 avec les phases de la TF de l'image 2 Image obtenue en combinant les modules de la TF de l'image 2 avec les phases de la TF de l'image 1


L'expérience nous montre que c'est principalement l'image dont on utilise les phases qui ressort de l'image composite !

Ceci peut être vu à partir de la définition de la Transformée de Fourier inverse :


Chaque pixel de l'image reconstruite à partir d'une transformée de Fourier d'un objet initial est la résultante de l'interférence (addition dans le plan complexe) de termes de modules et phases, ce qui peut être schématisé dans un diagramme d'Argand :


L'intensité d'un pixel de l'image reconstruite est  proportionnelle à la longueur de la flèche en traits discontinus et résulte de l'interférence de l'ensemble des coefficients de Fourier complexes.

    Cette représentation montre intuitivement que si les phases des coefficients de Fourier (i.e. les angles que font les vecteurs avec l'horizontale) sont modifiées, alors l'amplitude résultante sera très fortement altérée. Ce comportement est également lié à la 'ressemblance' entre les modules de facteurs de structure provenant de deux objets de même nature, dont on donnera des exemples dans la suite.