Relations bases & coordonnées cartésiennes - polaires



Ce simulateur propose de se familiariser avec les coordonnées et la base polaires, ainsi que les relations avec les coordonnées cartésiennes. Cet outil fonctionne avec Adobe FlashPlayer (disponible gratuitement ici s'il n'est pas déjà installé dans votre navigateur).


Utilisation :

Agrippez l'extrémité du vecteur position OM et déplacez ainsi à votre guise le point M dans le plan. Dans la base cartésienne {i,j} les composantes du vecteur OM sont notées traditionnellement x et y de telle sorte que ce vecteur OM s'écrit :

OM = x . i + y . j

Par ailleurs, x et y sont également les coordonnées du point M, comptées depuis le point O et relativement aux vecteurs de base {i,j}. Notez bien que les quantités vectorielles sont écrites en gras (e.g. OM), contrairement aux quantités scalaires (nombres, e.g. x).

Ce même point M peut également être repéré en se donnant la distance entre M et l'origine O ainsi que l'angle formé entre les vecteurs i et OM : ceux deux quantités forment les coordonnées polaires du point M et sont notées respectivement r et θ. On défini alors une nouvelle base de vecteurs unitaires {ur,uθ} :

  • ur est colinéaire au vecteur OM et unitaire
  • uθ également unitaire est perpendiculaire à ur, orienté dans le sens des θ croissants.

Ainsi on obtient :

OM = r.ur

et l'on remarquera que, contrairement au cas particulier des coordonnées et vecteurs de bases cartésiens, toutes les coordonnées n'apparaissent pas forcément dans l'expression du vecteur position. En effet, la variable angulaire θ n'apparait pas explicitement dans l'expression précédente, mais la dépendance anglaire du vecteur OM est portée par celle du vecteur de base polaire ur : lorsque M tourne autour de O le vecteur ur tourne également.

Quelques exemples de réflexions à développer :

  • où placer le point M telles que ses coordonnées polaires soient r=2, θ=135° ?
  • quel est le lieu des points M tel que r=3 ?
  • quel est le lieu des points M tel que θ = 45° ?

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