Dérivée d'un vecteur unitaire


Ce simulateur propose une démonstration grahique de la propriété d'orthogonalité entre un vecteur unitaire et sa dérivée, utile par exemple pour la compréhension de la construction de la base polaire. Cet outil fonctionne avec Adobe FlashPlayer (disponible gratuitement ici s'il n'est pas déjà installé dans votre navigateur).

Considérons un vecteur unitaire u mobile dans le plan. On ne s'intéresse qu'aux mouvements de rotation puisque l'on s'interroge sur une propriété de la dérivée du/dt de u (en effet, un mouvement de translation n'induira pas de changement sur u, donc ne contribuera pas à du/dt).

Démontrons tout d'abord analytiquement la propriété d'orthogonalité entre u et du/dt :

  • u étant unitaire on a donc : u.u = 1
  • Dérivons cette expression par rapport au temps : (du/dt).u + u.(du/dt) = 0 c'est-à-dire : u.(du/dt) = 0
  • u est donc bien orthogonal à du/dt.



Utilisation :

Sur l'animation ci-dessous nous avons représenté le vecteur u à l'instant t (i.e. u(t)) et le même vecteur à un instant Δt ultérieur (i.e. u(t+t)). Ces deux vecteurs forment un angle φ qui tend vers zéro lorsque Δt → 0. En appliquant la relation de Chasles on défini Δu = u(t+t)-u(t) comme étant le numérateur de la définition de la dérivée du/dt.

Agrippez le curseur à droite pour faire tendre Δt vers 0 et observez comment s'oriente le vecteur Δu (donc du/dt) par rapport au vecteur u.

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