Un peu plus de détails sur les coefficients de Fourier



    Pour illustrer la signification des coefficients de Fourier, nous pouvons chercher quelle est l'image formée à partir d'un nombre très restreint de modules et phases. Par exemple, quelle est l'image qui sera formée par Transformée de Fourier inverse d'un tableau F(h,k) de 16*16 cases de nombres complexe tous à zéro exceptés F(-1,0)=-i et F(1,0)=i ?


k\h -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
 0  1  2  3  4  5  6  7
-8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -i 0 i 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Transformée de Fourier dont on cherche l'image correspondante (Transformée de Fourier inverse)


Premièrement, nous avons F(-h,-k)=F*(h,k) autour de (h,k)=(0,0) : l'image formée sera donc à valeurs réelles.
Les coefficients F(-1,0) et F(1,0) sont les premiers proches de l'origine, dans la direction horizontale : ils vont donc générer une fonction sinusoïdale horizontale, dont la période sera de 16 pixels sur l'image formée (c'est la plus grande période possible sur une image de 16 pixels de coté). Cette fonction variera entre ±A (une constante), avec une moyenne nulle puisque F(0,0) est nul :


   
    
                                     (a)                                                                                   (b)                                                                                          (c)
Images et profils horizontaux d'intensité obtenus via les Transformées de Fourier inverses ne contenant comme coefficients uniquement : (a) F(-1,0)=-i et F(1,0)=i; (b) F(-2,0)=-i et F(2,0)=i; (c) F(-8,0)=1 : ce cas correspond à la fréquence de Nyquist (plus haute fréquence représentable sans phénomènes de Moiré), la fréquence d'échantillonnage de l'image (de période 1 pixels) étant le double de la sinusoïde générée (de période 2 pixels).

Si seuls les coefficients F(-2,0) et F(2,0) sont non nuls (et conjugués complexe l'un de l'autre), la courbe générée sera alors une sinusoïde de fréquence double au premier cas (images (a) et (b)). La plus haute fréquence horizontale pouvant être contenue dans l'image formée correspond à la fréquence de Nyquist, et est égale à 8 fois la plus basse fréquence (images (a) et (c)).

Une image telle que celle représentant le Musicien Chinois résulte donc de l'intérférence des différentes ondes sinusoïdales ainsi générées, dans toutes les directions possible du plan.